椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。下面是圆的知识点总结。

　　一、教学内容：

　　椭圆的方程

　　高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质.

　　重点：椭圆的方程与几何性质.

　　难点：椭圆的方程与几何性质.

　　二、知识点：

　　1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质

　　定 义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 第二定义：

　　平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0

　　标

　　准

　　方

　　程焦点在x轴上

　　焦点在y轴上

　　图 形焦点在x轴上

　　焦点在y轴上

　　性 质焦点在x轴上

　　范 围：

　　对称性： 轴、 轴、原点.

　　顶点： ， .

　　离心率：e

　　概念：椭圆焦距与长轴长之比

　　定义式：

　　范围：

　　2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1 r2=2a

　　(2)余弦定理： -2r1r2cos(3)面积： = r1r2 sin ?2c| y0 |(其中P( )

　　三、基础训练：

　　1、椭圆 的标准方程为

　　，焦点坐标是 ，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆 的值是__3或5__;

　　3、两个焦点的坐标分别为 ___;

　　4、已知椭圆 上一点P到椭圆一个焦点 的距离是7，则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴， ，则椭圆的离心率为6、方程 =10，化简的结果是 ;

　　满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为

　　8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系 顶点 ，顶点 在椭圆  上，则10、已知点F是椭圆 的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则 的最大值是 8 .

　　【典型例题】

　　例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.

　　(2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.

　　解：设方程为 .

　　所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为 ，求以 为焦点且过点 的椭圆方程 .

　　解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程.

　　解：设方程为

　　例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且 、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).

　　解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、 在 轴上，

　　则 =|OA|-|O |=| A|=6371 439=6810

　　解得 =7782.5， =972.5

　　.

　　卫星运行的轨道方程为

　　例3、已知定圆

　　分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：

　　上式可以变形为 ，又因为 ，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆

　　解：知圆可化为：圆心Q(3，0)，

　　设动圆圆心为 ，则 为半径 又圆M和圆Q内切，所以 ，

　　即  ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以 ，故动圆圆心M的轨迹方程是：

　　例4、已知椭圆的焦点是 |和|(1)求椭圆的方程;

　　(2)若点P在第三象限，且 =120，求 .

　　选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.

　　解：(1)由题设| |=2| |=4

　　(2)设 ，则 =60-

　　由正弦定理得：

　　由等比定理得：

　　.

　　说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答

　　例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向 轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M的轨迹(若M分 PP?@之比为 ，求点M的轨迹)

　　解：(1)当M是线段PP?@的中点时，设动点 ，则 的坐标为

　　因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

　　所以有 所以点

　　(2)当M分 PP?@之比为 时，设动点 ，则 的坐标为

　　因为点 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 ，

　　例6、设向量 =(1， 0)， =(x m) y =(x-m) y | | (I)求动点P(x，y)的轨迹方程;

　　(II)已知点A(-1， 0)，设直线y= (x-2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得 ?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.

　　解：(I)∵ =(1， 0)，  =(0， 1)， | =6

　　上式即为点P(x， y)到点(-m， 0)与到点(m， 0)距离之和为6.记F1(-m， 0)，F2(m， 0)(0

　　|PF1| |PF2|=6|F1F2|

　　又∵x0，P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.

　　∵ 2a=6，a=3

　　又∵ 2c=2m， c=m，b2=a2-c2=9-m2

　　所求轨迹方程为 (x0，0

　　( II )设B(x1， y1)，C(x2， y2)，

　　而y1y2= (x1-2)? (x2-2)

　　= [x1x2-2(x1 x2) 4]

　　[x1x2-2(x1 x2) 4]

　　= [10x1x2 7(x1 x2) 13]

　　若存在实数m，使得 成立

　　则由 [10x1x2 7(x1 x2) 13]=

　　可得10x1x2 7(x1 x2) 10=0 ①

　　消去y，得(10-m2)x2-4x 9m2-77=0 ②

　　因为直线与点P的轨迹有两个交点.

　　由①、④、⑤解得m2= 9，且此时△0

　　但由⑤，有9m2-77= 0与假设矛盾

　　不存在符合题意的实数m，使得

　　例7、已知C1： ，抛物线C2：(y-m)2=2px (p0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

　　(Ⅰ)当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;

　　(Ⅱ)若p= ，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

　　解：(Ⅰ)当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1， )或(1，- ).

　　此时C2的焦点坐标为( ，0)，该焦点不在直线AB上.

　　(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时，由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).

　　因为C2的焦点F( ，m)在y=k(x-1)上.

　　所以k2x2- (k2 2)x =0 ②

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1 x2=

　　(3 4k2)x2-8k2x 4k2-12=0 ③

　　由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1 x2=

　　又m=- m= 或m=-

　　当m= 时，直线AB的方程为y=- (x-1);

　　当m=- 时，直线AB的方程为y= (x-1).

　　例8、已知椭圆C： (a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e.直线l：y=ex a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 = .

　　(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若 ，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程;

　　(Ⅲ)确定解：(Ⅰ)因为A、B分别为直线l：y=ex a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A(- ，0)，B(0，a).

　　(Ⅱ)当 时， a=2c

　　由△MF1F2的周长为6，得2a 2c=6

　　a=2，c=1，b2=a2-c2=3

　　故所求椭圆C的方程为

　　(Ⅲ)∵PF1l PF1F2=90BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 |PF1|=C.

　　设点F1到l的距离为d，由

　　即当(注：也可设P(x0，y0)，解出x0，y0求之)

　　【模拟试题】

　　一、选择题

　　1、动点M到定点 和 的距离的和为8，则动点M的轨迹为

　　A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线

　　2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

　　A、 C、2- -1

　　3、(2004年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C： 的焦点，在C上满足PF1PF2的点P的个数为

　　A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定

　　4、椭圆 的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为

　　A、32 B、16 C、8 D、4

　　5、已知点P在椭圆(x-2)2 2y2=1上，则 的最小值为

　　6、我们把离心率等于黄金比 是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则 等于

　　A、 C、

　　二、填空题

　　7、椭圆 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 .

　　8、设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1，2， )，使得|FP1|、|FP2|、|FP3|组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .

　　9、设 ， 是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点，且 ，则得 .

　　10、若椭圆 =1的准线平行于x轴则m的取值范围是

　　三、解答题

　　11、根据下列条件求椭圆的标准方程

　　(1)和椭圆 共准线，且离心率为 .

　　(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.

　　12、已知 轴上的一定点A(1，0)，Q为椭圆 上的动点，求AQ中点M的轨迹方程

　　13、椭圆 的焦点为 =(3， -1)共线.

　　(1)求椭圆的离心率;

　　(2)设M是椭圆上任意一点，且 = 、 R)，证明 为定值.

　　【试题答案】

　　1、B

　　2、D

　　3、A

　　4、B

　　5、D(法一：设 ，则y=kx代入椭圆方程中得：(1 2k2)x2-4x 3=0，由△0得： .法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)

　　6、C

　　7、( ;(0， );6;10;8; ; .

　　10、m 且m0.

　　11、(1)设椭圆方程 .

　　所求椭圆方程为 的坐标为

　　13、解：设P点横坐标为x0，则 为钝角.当且仅当 .

　　14、(1)解：设椭圆方程 ，F(c，0)，则直线AB的方程为y=x-c，代入 ，化简得：

　　由 =(x1 x2，y1 y2)， 共线，得：3(y1 y2) (x1 x2)=0，

　　又y1=x1-c，y2=x2-c

　　3(x1 x2-2c) (x1 x2)=0， x1 x2=

　　(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆 可化为x2 3y2=3b2

　　∵M 2 3