一、目的要求：

　　1、 本课的地位和作用

　　函数一章在高中数学的学习中起着承上启下的作用，它是在初中初步探讨函数的概念，函数关系的表示方法、图象的位置等基础上，对函数概念的再认识，即用集合映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并研究了单调性和奇偶性这两个重要特征，为今后的学习打下良好的基础，为进一步学习三角函数、函数的周期性及选修内容中的极限、导数、积分提供了良好的保证。这些内容是函数及应用研究的深入及提高，也是今后进一步高等数学和参加工农业生产建设需要具备的基础知识。本章的学习对中学生数学学习起着决定性的作用。而且不仅是知识性方面，更重要的学习方法方面，也将是终身受益的一章。作为该章的起始课之一，本节课的地位也就不言而愈了。

　　2、 教学目标

　　（1）知识目标：

　　理解函数的概念，明确决定函数的三要素，即定义域、值域和对应法则；进一步理解对应法则的意义。

　　（2）能力目标：

　　通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；培养学生理论联系实际的能力。

　　（3）情感目标：

　　激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学态度和勇于创新的精神。

　　3、教学重点：在映射的基础上理解函数的概念

　　4、教学难点：函数的概念

　　二、教学内容分析

　　1、函数的概念在初中已作过介绍，它是这样表述的：

　　设在一个变化过程中有两个变量

　　与 ，如果对于 的每一个值，都有惟一的值与它对应，那么就说 是自变量， 是 的函数。我们看到，这里是用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。但是，由于这个定义并未完全揭示出函数概念的本质，在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个集合之间的一种映射，按照这种观点，函数是两个数集（或其某个子集）之间的一种特殊的映射，这样就使我们对函数概念有了更深一层的认识。

　　2、函数概念有三个要素：对应法则，定义域和值域。

　　函数的对应法则通常用记号 表示，函数记号 表明，对于定义域中的任意 ，在“对应法则 ”作用下得到

　　。在比较简单的情况下，对应法则 可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则要用几个解析式来表示，有时甚至不可能用解析式来表示，而要用其他方式（如列表、图象）来表示。

　　定义域是指原象的集合，即自变量的取值范围。应指出初中讲函数概念时，为便于接受未提出较为抽象的“定义域”的术语，而采用了较为通俗的“自变量的取值范围”的说法，对于两个对应法则相同的函数来说，如果定义域不同，应该被看作是不同的函数，在中学阶段，所研究的函数通常都是能够用解析式表示的，这时函数的定义域通常是指能使这个式子有意义的所有实数 的集合，而对于实际应用问题来说，自变量所取的值还必须是实际问题本身所允许的。

　　值域是所有函数值组成的集合，它取决于定义域和对应法则，应该指出，初中讲函数时，

　　限于要求未提及值域这一术语。

　　3、函数通常用符号 表示，由于这个符号较为抽象，在初中讲函数时未出现这个符号，在讲函数的符号表示时，应说明几点：是表示是的函数，不是表示 等于与的乘积；不一定是一个解析式；与 是不同的。

　　4、函数主要有三种表示方法：解析法、列表法和图象法。

　　解析法是用解析式来表示函数关系，在中学所研究的主要是这类函数，有了解析式，可以明了变量间的关系，并求出相应于任意自变量的函数值。

　　列表法是用列表来表示两个变量间的函数关系，事实上，平方表、平方根表、三角函数表等都是用列表法来表示函数关系的。这种方法的优点是不必计算即可看出两个变量的值之间的对应关系，但在自变量取值较多时，难以将两个变量的对应数值—一列出。

　　图象法是用图象表示两个变量间的函数关系，其优点是直观形象，但对函数关系的表示显得较为粗略。

　　应该指出，以上表示函数的三种方法具有互补性、因此在实际研究函数时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再据此在平面直角坐标系中描点，最后将这些点连成曲线，形成该函数的图象。

　　三、说教学设计

　　现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。

　　函数现代定义既是本课的重点，又是难点。如何突破？我认为就是应该抓住学生已有知识结构中的函数传统定义作为新知识的固着点，利用映射概念作为突破口，通过传统定义和现代定义的比较，化抽象为具体，从而引导学生理解并掌握概念。

　　教学中，我首先从学生熟悉的函数入手，引出函数传统定义，然后引导学生利用映射给出函数现代定义。尽量不让学生由于陌生而产生对新概念的恐惧。接着在进行两个概念的比较的时候又依托具体例子，化抽象为具体，较好地解决了这一问题。函数是抽象性很强的概念，为使学生比较容易地理解这一概念，我多次使用学生比较熟悉的生活中的实例来解释和理解函数的概念，同时也请同学自编一些函数题目，并把自己所编的函数题目解答清楚，这样可使抽象的问题具体化。

　　四、说教学过程

　　（一）、复习与引入

　　师：我们在初中学过函数，请同学们回忆一下，我们学过哪些函数。

　　生：正比例函数

　　反比例函数

　　一次函数

　　二次函数

　　师：那么什么叫函数呢?

　　(让学生回忆，同时老师打出投影片)

　　初中学过的函数定义：在某变化过程中，有两个变量 ， ，如果对于 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则， 都有唯一确定的值和它对应，那么 就是 的函数，

　　叫自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和 的值对应的 的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域。

　　（二）、新课

　　1、函数定义

　　师：我们分析这个定义，可以看出，函数是运动变化中的两个变量之间的一种制约关系，自变量 在自己的取值范围内取定一个值， 就由这种制约关系确定出一个与 对应的函数值.这种制约关系，实际上是一种对应关系。一般地，设a，b是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合a中的任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合a到集合b的映射，哪一位同学能从映射的角度给函数重新下一个定义呢？

　　(学生讨论，教师引导学生叙述准确)

　　设a，b都是非空的数集，那么a到b的映射 就叫做a到b的函数，记作 ，其中 ， ，原象集合a叫做函数的定义域，象集合c叫做函数 的值域，显然 。

　　师：我们分析函数的两个定义。这两个定义本质上是一致的，两上定义中的定义域、值域的意义完全相同，两个定义中的对应法则实际上也是一样的，但两个定义叙述的出发点不同，我们把初中所学定义叫传统定义，把高中新学的定义叫近代定义。可以看出，传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来.近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则将原象集合中的任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来。传统定义用变量的观点描述函数比较生动、直观，但对有些函数用传统定义解释比较勉强，如市区公共汽车票价与乘车所走的站数是一种函数关系：

　　(元)( =1，2，3，…，20)，但用近代定义解释就很方便：a={1，2，3，4，…，20}(假设每路公共汽车走20站)，b={0.5元，1元}， ：不论乘坐几站，上车就是1元 是一个函数关系，看起来，近代定义更具有一般性。

　　2、函数的表示法

　　师：我们已经明确了函数的定义，那么怎样表示一个函数呢?请看例子。

　　练习本单价为0.7元，买练习本的本数 与付款款额 的函数关系如何表示?

　　生甲：我画一个表格。(学生口述时，老师板演)

　　师：列表格的方法很直观地反映了练习本的本数与付款款额的关系，但这种表示方法一般不完整，如我要买100本练习本，需付的款额表中就没有，还可以用什么方式表示呢?

　　生乙：我用一个数学式子 表示。

　　师：这个表示法叫解析法，它严谨、完整，但不够直观，另外，描绘函数的图象，也可以直观形象地表示一个函数。(板书以下内容)

　　函数的表示法：

　　解析法用一个等式表示出x与y的关系

　　列表法用表格表示出x与y的对应关系

　　图象法以表格中的数对(x，y)为点的坐标描绘出能反映x与y的对应关系的曲线。

　　函数的三种表示法各有所长，各有所短，我们要根据具体情况，恰当地选择方法来表示所要研究的函数。