《1.2 函数及其表示（2）》测试题

　　一、选择题

　　1.设函数，则( ).

　　A. B.3 C. D.

　　考查目的：主要考查分段函数函数值求法.

　　答案：D.

　　解析：∵，∴，∴，故答案选D.

　　2.下列各组函数中，表示同一函数的是( ).

　　A.， B.，

　　C.， D.，

　　考查目的：主要考查对函数概念的理解.两个函数相同，则这两个函数的定义域和对应关系均要相同.

　　答案：C

　　解析：A、B选项错，是因为两个函数的定义域不相同；D选项错，是因为两个函数的对应关系不相同.

　　3.函数的图象如图所示， 对于下列关于函数说法：

　　①函数的定义域是；

　　②函数的值域是；

　　③对于某一函数值，可能有两个自变量的值与之对应.

　　其中说法正确的有( ).

　　A.0个 B.1个  C.2个 D.3个

　　考查目的：本题主要考查对函数概念的理解以及对区间符号的认识.

　　答案：C

　　解析：从图可知，函数的定义域是[，所以①不正确，②、③说法正确，故选C.

　　二、填空题

　　4.如图，函数的图像是曲线OAB，其中点O、A、B的坐标分别为（O，O），（1，2），（3，1），则的值等于 .

　　考查目的：主要考查用图象表示函数关系以及求函数值.

　　答案：2

　　解析：由图可知，，，∴.

　　5.已知函数，，则实数的值等于 ．

　　考查目的：主要考查分段函数的函数值的求法.

　　答案：.

　　解析：∵，∴，∴，∴，∴只能有，.

　　  高中地理;

　　6.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称.的图象是由两条线段组成的折线(如图），则函数的表达式为 .

　　考查目的：主要考查函数的表示法：解析法与图像法，分段函数的表示.

　　答案：.

　　解析：点()关于直线对称的点为()，∴的图象上的三点(-2，0)，(0，1)，(1，3)关于直线对称的点分别为(0，-2)，(1，0)，(3，1)，∴函数.

　　三、解答题

　　7.已知的定义域是，求的表达式.

　　考查目的：主要考查函数的解析式的求法.一定要注意函数的定义域.

　　答案：.

　　解析：，令，则，且，∴，

　　即，则.

　　8.某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次， 如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次.

　　⑴若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；

　　⑵在⑴的条件下，每节车厢能载乘客110人，问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.

　　考查目的：主要考查实际问题中求函数解析式、二次函数求最值.

　　解析：⑴设每日来回次，每次挂节车厢，，由题意知，当时，当时，∴，解得，∴；

　　⑵设每日来回次，每次挂节车厢，由题意知，每日挂车厢最多时，营运人数最多，设每日营运节车厢，则，∴当时，，此时，则每日最多运营人数为110×72=7920(人)，即这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.

　　高考数学复习：名师指点2016年高考数学一轮复习方法

　　2010年高考又该怎么复习，怎么规划呢?很多成功考生的经验告诉我们，“信心和毅力比什么都重要”。那些肯于用自己的脑袋学习，既有刻苦精神，又讲求科学方法的同学，在学习的道路上一定会有长足的进步。

　　第一轮复习，即基础复习阶段，这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8月份到第二年的三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接影响整个高考的成败，因此同学们应该高度重视，在第一轮复习中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把《大纲》中所有的考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。这就需要考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在复习中应淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。常用的数学思想方法有：(1)函数思想方法：根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的性质如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性、范围和图像的交点个数等的研究;(2)方程思想方法：通过列方程(组)建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程(组)实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的;(3)数形结合的思想：它可以把抽象的数学语言与直观图形相对应，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，(4)分类讨论的思想：此思想方法在解答题中越来越体现出其重要地位，在解题中应明确分类原则：标准要统一，不重不漏。

　　同时考生在此阶段的复习过程中一定要重视教材的作用，我们有很大一部分考生不重视课本，甚至在高考这一年中从来没翻过课本，这是非常危险的。因为高考试题有一部分都是从书上的例题和练习里引申变形而来的，对于我们基础比较薄弱的同学来讲，就更应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，体会其中包含的数学思想和数学方法。这对于我们提高数学能力是非常有帮助的!

　　对于课外参考书的选择我认为选择一到两本适合自己的参考书，把里面的精髓学懂学会就足够了，不必弄的太多，弄的太多，反而对自己是一个很大的包袱。

　　高三数学概率训练题

　　章末综合测（10）概率

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

　　1．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：

　　①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；

　　②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；

　　③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；

　　④“取出3只红球”与“取出3只白球”．

　　其中是对立事件的有( )

　　A．①②   B．②③

　　C．③④   D．③

　　D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件.

　　2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是( )

　　A.14 B.13

　　C.12 D.23

　　C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝24＝12.

　　3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲 、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是( )

　　A．甲获胜 B．乙获胜

　　C．甲、乙下成和棋 D．无法得出

　　C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是 下成和棋.

　　4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( )

　　A．1－π4 B.π4

　　C．1－π8 D．与a的取值有关

　　A 解析：几何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故选A.

　　5．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是( )

　　A.16 B.25

　　C.13 D.23

　　D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率P＝46＝23.

　　6．从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )

　　A.310 B.112

　　C.4564 D.38

　　D解析：4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概

　　率为P＝616＝38.

　　7 ．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )

　　A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为34

　　C．淋雨的可能性为12 D．淋雨的可能性为14

　　D解析：基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下

　　雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.

　　8．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )

　　A.19 B.112

　　C.115 D.118

　　D解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12个，故求概率为P＝12216＝118.

　　9．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为( )

　　A．3 B．4

　　C．2和5 D．3和4

　　D解析：点P(a，b)的个数共有2×3＝6个，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故选D.

　　10．连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是( )

　　A.512 B.12

　　C.712 D.56

　　C 解析：基本事件总数为36，由cosθ＝abab≥0得ab≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4) 高二，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝2136＝712.

　　11．在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1% ( )

　　A．a＞910 B．a＞109

　　C．1＜a＜109 D．0＜a＜910

　　C解析：硬币与方格线不相交，则a＞1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a－1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.

　　12．集合A＝{(x，y)x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)y≤－x＋5，x∈N}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于 ( )

　　A.14 B.29

　　C.736 D.536

　　B解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a，b)∈A∩B的概率为836＝29，

　　二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

　　13．若实数x，y满足x≤2，y≤1，则任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率为__________．

　　解析：点(x，y)在由直线x＝±2和y＝±1围成的矩形上或其内部，使x2＋y2≤1的点(x，

　　y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P＝π4×2＝π8.

　　答案：π8

　　14．从所有三位二进制数中随机抽取一个数，则这个数化为十进制数后比5大的概率是

　　________．

　　解析：三位二进制数共有4个，分别111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)与110(2)化为十

　　进制数后比5大，故所求概率为P＝24＝12.

　　答案：12

　　15．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程

　　组mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一组解的概率是__________．

　　1718 解析：由题意，当m2≠n3，即3m≠2n时，方程组只有一解．基本事件总数为36，

　　满足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m≠2n的基本事件数为34个，

　　故所求概率为P＝3436＝1718.

　　16．在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，点P是圆内的

　　任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最

　　大，则m＝__________.

　　0 解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，

　　则点P落在平面区域E内的概率最大．

　　三、解答题：本大题共6小题，共70分．

　　17．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿 命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示

　　分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)

　　频数 48 121 208 223 193 165 42

　　频率[]

　　(1)将各组的频率填入表中；

　　(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率；

　　(3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管．

　　解析：

　　分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)

　　频数 48 121 208 223 193 165 42

　　频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042

　　(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，

　　所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.

　　(3)由(2)只，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6.

　　15×0.6＝9，故经过1 500小时约需换9支灯管．

　　18．(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸 取一个球．

　　(1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

　　(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．

　　解析：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：

　　(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、

　　(黑、红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑、黑、黑)．

　　(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，

　　事件A包含的基本事件为：

　　(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)．

　　事件A包含的基本事件数为3.

　　由(1)可知，基本事件总数为8，

　　所以事件A的概率为P(A)＝38.

　　19．(12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.设复数z＝a＋bi.

　　(1)求事件“z－3i为实数”的概率；

　　(2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a，b)满足(a－2)2＋b2≤9”的概率．

　　解析：(1)z－3i为实数，

　　即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，∴b＝3.

　　又b可取1,2,3,4,5,6，故出现b＝3的概率为16.

　　即事件“z－3i为实数”的概率为16.

　　(2)由已知，b的值只能取1,2,3.

　　当b＝1时，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；

　　当b＝2时，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；

　　当b＝3时，(a－2)2≤0，即a可取2.

　　综上可知，共有9种情况可使事件成立．

　　又a，b的取值情况共有36种，

　　所以事件“点(a，b)满足(a－2 )2＋b2≤9”的概率为14.

　　20．(12分)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗求助，其中A1，A2，A3是护理专家，B1，B2，B3是外科专家，C1，C2是治疗专家．

　　(1)求A1恰被选中的概率；

　　(2)求B1和C1不全被选中的概率．

　　解析：(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：

　　(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18个基本事件．

　　用M表示“A1恰被选中 ”这一事件，则

　　M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6个基本事件．

　　所以P(M)＝618＝13.

　　(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则 其对立事件N表示“B1和C1全被选中”这一事件，

　　由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个基本事件，

　　所以P(N)＝318＝16，

　　由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.

　　21．(12分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

　　(1)若a是从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

　　(2)若a是从区间[－4，－1]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

　　解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

　　当a＜0，b＞0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a＋b≤0.

　　(1)基本事件共12个：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，

　　(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．

　　其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为

　　P(A)＝912＝34.

　　(2)试验的全部结果所构成的区域为

　　{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3}，构成事件A的区域为{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，

　　所求概率为这两区域面积的比．

　　所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23.

　　22．(12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．

　　(1)共有多少种安排？

　　(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？

　　(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？

　　解析：(1)安排情况如下：

　　甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12种安排方法．

　　(2)甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，故甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率为

　　P(A)＝212＝16.

　　(3)方法一：“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件，∵甲、乙两人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”两种，则“甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16”．

　　∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.

　　方法二：甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10种，∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1012＝56.

　　分类计数原理与分步计数原理、排列

　　一. 教学内容：分类计数原理与分步计数原理、排列

　　二. 教学重、难点：

　　1. 分类计数原理，分步计数原理

　　2.

　　【典型例题

　　[例1] 有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码。

　　（1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？

　　（2）从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？

　　解：

　　（1）任取一个小球的可分三类，一类取红球，有20种取法；一类取白球，有15种取法；一类取黄球，有8种取法。由分类计数原理共有20 15 8=43种不同取法。

　　（2）取三色小球各一个，可分三步完成 高中历史，先取红球。有20种取法；再取白球，有15种取法；最后取黄球，有8种取法。由分步计数原理，共有 种不同的取法。

　　[例2] 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

　　解：分析个位数字，可分以下几类：

　　个位是9，则十位可以是1，2，3，……，8中的一个，故有8个；

　　个位是8，则十位可以是1，2，3，……，7中的一个，故有7个；

　　与上同样。

　　个位是7的有6个；

　　个位是6的有5个；

　　……

　　个位是2的只有1个。

　　由分类计数原理知，满足条件的两位数有 （个）

　　[例3] 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为多少？

　　解：沿12?D5?D3路线传递的信息最大量为3（单位时间内），沿12?D6?D4路线传递信息的最大量为4……由于以上每个线路均能独立完成这件事（传递信息），故单位时间内传递的最大信息量为3 4 6 6=19。

　　[例4] 用6种不同的颜色对下图中5个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

　　解：分五步进行，第一步给5号域涂色有6种方法

　　第二步给4号涂有5种方法

　　第三步给1号涂有5种方法

　　第四步给2号涂有4种方法

　　第五步给3号涂有4种方法

　　根据分步计数原理，共有 值

　　（1） ；（3） 。

　　解：（1）由排列数公式，

　　得

　　整理得 或 （舍去） ∴

　　解得

　　（3）由排列数公式，得 ∴ ；

　　（2）

　　∴

　　（3）∵

　　[例7] 由0，1，2，3，4，5共六个数字可组成多少个没有重复数字且能被5整除的六位数？

　　解：组成的六位数与顺序有关，但首位不能排0，个位必须排0或5，因此分两类：第一类：个位必须排0，此时前五位数由1，2，3，4，5共五个数字组成，这五个数字的每一个排列对应一个六位数，故此时有 个六位数。第二类：个位数排5，此时为完成这件事（构造出六位数）还应分两步，第一步排首位，有4种排法，第二步排中间四位，有 个。

　　[例8] 用0，1，2，3，4五个数字组成的无重复数字的五位数中，其依次从小到大的排列。

　　（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？

　　解：（1）1、2是首数时各组成 个；2在万位，0、1在千位的共有 个，还有23104比23140小，故23140是第 种方法，然后让剩下的5个人（其中包括甲）站在中间的5个位置，有 种站法。

　　方法二：因为甲不在两端，分两步排队，首先排甲，有 种方法，第二步让其他6人站在其他6个位置上，有 种方法，第二步让甲插入这6个人之间的空当中，有 种，故共有 种站法。

　　方法四：在排队时，对7个人，不考虑甲的站法要求任意排列，有 种方法，因此共有 种排法，再考虑其余5个元素的排法有 种。

　　方法二：甲、乙两人不能站在两端，应包括同时不在两端，某一人在两端，故用排异法，应减去两种情况，同时在两端，有 种不同站法。

　　（3）分三步：第一步，从甲、乙以外的5个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有 种方法，第三步，对甲、乙进行全排列，故共有 种不同站法。

　　（4）方法一：男生站在前4个位置上有 种站法，男女生站成一排是分两步完成的，因此这种站法共有 种站法，这两种站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 种排法，然后排四名男生，有 种排法，根据分步计数原理，将四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 种排法，在四名男生间的三个间隔共有三个位置安排三名女生，有 种排法符合要求，故四名男生三名女生相间排列的排法共有 种。

　　（6）在7个位置上任意排列7名，有排法 中每一种情况均以 种。

　　[例10] 某班开设的课程有、、、、、、、体育共8门。若星期一上午排4节不同的课，并且规定体育课不能排在第一节及第四节，那么星期一上午该班的课程表有多少种不同的排法？

　　解：若不排体育课，则有 ，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）

　　A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

　　2. 书架上、下两层分别放有5本不同的数学书和4本不同的语文书，从中选两本数学书和一本语文书，则不同的选法有 种（ ）

　　A. 9 B. 13 C. 24 D. 40

　　3. 不等式 B. 或 或

　　4. 已知 的值为（ ）

　　A. 7 B. 2 C. 6 D. 8

　　5. 2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有（ ）

　　A. 种

　　C. 种

　　6. 27位女同学排队照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，则所有不同的排法种数为（ ）

　　A.

　　C.

　　二. 解答题

　　1. （1）某教学楼有三个不同的楼梯，4名学生要下楼，共有多少种不同的下楼方法？（2）有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有多少种可能？

　　2. 现有年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组。

　　（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

　　（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

　　（3）推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

　　3. 解下列各式中的 值。

　　（1） （2）

　　【答案】

　　一. 选择题

　　1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C

　　二. 解答题

　　1. 解：

　　（1）4名学生分别下楼，即问题分4步完成。每名学生都有3种不同的下楼方法，根据分步计数原理，不同的下楼方法共有 种。

　　（2）确定3项冠军人选可逐项完成，即分3步，第1项冠军人选有4种可能，第2项与第3项也均有4种可能，根据分步计数原理：冠军获得者共有 （种）

　　（2）分四步，易知不同的选法总数

　　（种）

　　（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有 种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有 种不同选法；从一、四班学生中各选1人，有 种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有 种不同的选法，所以共有不同的选法数

　　∴

　　∴ （舍）

　　（2）

　　∴ （舍）

　　4. 解：

　　（1）先排乙有2种方法，再排其余5位同学有 种排法。

　　（4） 种排法。

　　（5） 种排法。

　　（6）7个学生的所有排列中，3名女生交换顺序得到的排列只对应一个符合题意的排队方式，故共有 种排法。

　　逻辑学悖论－－徽章和涂写

　　M：颁发一枚勋章，勋章上写着：

　　禁止授勋！

　　M：或者涂写一个告示：

　　不准涂写！

　　学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗？它们均违背了它们自己所提出的要求。学生们一定愿意编出其他的例子，比如在缓冲器的连结杆上写“除去缓冲器连结杆”，一个招牌上写：“不许读这个招牌”，等等。—个单身汉宣称，只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，他才想要。一个人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐部。—个小女孩说，她很高兴她讨厌吃菜花，因为要是她喜欢的话，就会吃得太多，结果她就不能老吃到菜花了。更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话 “一切规则都有例外”和“所有知识都值得怀疑。”

　　高考数学复习：从90分提高到135分的方法

　　数学成绩90分，只相当于百分制的及格，从历年高考看，无论文科还是理科这个成绩都很困难。但是，把数学成绩从90分提高到135分并不是很难，那为什么很多考生直到高考结束还不能有所突破，究其原因可归纳为：内在自信缺乏，外来方法欠佳。

　　“自信”和“方法”相辅相成。没有“自信”，好方法将打折扣；没有“方法”，很难建立自信。实际教学中方法更重要，方法是得高分的保障。好的方法很多，这里介绍一种适用范围广、见效明显的方法，正是这种方法使多个学生成绩从90分以下提升到135分以上，希望能使更多的考生明显提高数学成绩。

　　第一部分：学习的方法

　　一·预习是聪明的选择

　　最好老师指定预习内容，每天不超过十分钟，预习的目的就是强制记忆基本概念。

　　二·基本概念是根本

　　基本概念要一个字一个字理解并记忆，要准确掌握基本概念的内涵外延。只有思维钻进去才能了解内涵，思维要发散才能了解外延。只有概念过关，作题才能又快又准。

　　三·作业可巩固所学知识

　　作业一定要认真做，不要为节约时间省步骤，作业不要自检，全面暴露存在的问题是好事。

　　四·难题要独立完成

　　想得高分一定要过难题关，难题的关键是学会三种语言的熟练转换。（文字语言、符号语言、图形语言）

　　第二部分：复习的方法

　　五·加倍递减训练法

　　通过训练，从心理上、精力上、准确度上逐渐调整到考试的最佳状态，该训练一定要在专业人员指导下进行，否则达不到效果。

　　六·考前不要做新题

　　考前找到你近期做过的试卷，把错的题重做一遍，这才是有的放矢的复习方法。

　　第三部分：考试的方法

　　七·良好心态

　　考生要自信，要有客观的考试目标。追求正常发挥，而不要期望自己超长表现，这样心态会放的很平和。沉着冷静的同时也要适度紧张，要使大脑处于最佳活跃状态

　　八·考试从审题开始

　　审题要避免“猜”、“漏”两种不良习惯，为此审题要从字到词再到句。

　　九·学会使用演算纸

　　要把演算纸看成是试卷的一部分，要工整有序，为了方便检查要写上题号。

　　十·正确对待难题

　　难题是用来拉开分数的，不管你水平高低，都应该学会绕开难题最后做，不要被难题搞乱思绪，只有这样才能保证无论什么考试，你都能排前几名。

　　函数的概念达标练习

　　1．下列说法中正确的为( )

　　A．y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数

　　B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数

　　C．f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数

　　D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数

　　解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．

　　2．下列函数完全相同的是( )

　　A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2

　　B．f(x)＝x，g(x)＝x2

　　C．f(x)＝x，g(x)＝x2x

　　D．f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3

　　解析：选B.A、C、D的定义域均不同．

　　3．函数y＝1－x＋x的定义域是( )

　　A．{xx≤1}    B．{xx≥0}

　　C．{xx≥1或x≤0} D．{x0≤x≤1}

　　解析：选D.由1－x≥0x≥0，得0≤x≤1.

　　4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．

　　解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a＞1或a＜－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y是x的函数关系的有(2)(3)．

　　答案：(2)(3)

　　1．函数y＝1x的定义域是( )

　　A．R B．{0}

　　C．{xx∈R，且x≠0} D．{xx≠1}

　　解析：选C.要使1x有意义，必有x≠0，即y＝1x的定义域为{xx∈R，且x≠0}．

　　2．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )

　　A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1

　　C．x－2y＝6 D．x＝y

　　解析：选A.一个x对应的y值不唯一．

　　3．下列说法正确的是( )

　　A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应

　　B．函数的定义域和值域可以是空集

　　C．函数的定义域和值域一定是数集

　　D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了

　　解析：选C.根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调A中元素的任意性和B中对应元素的唯一性，所以A中的多个元素可以对应B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A、B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系可以是x→x，x∈A，可以是x→x，x∈A，还可以是x→x2，x∈A.

　　4．下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )

　　A．A＝{－1 高中历史,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方

　　B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方

　　C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数

　　D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值

　　解析：选A.按照函数定义，选项B中集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A符合函数定义．

　　5．下列各组函数表示相等函数的是( )

　　A．y＝x2－3x－3与y＝x＋3(x≠3)

　　B．y＝x2－1与y＝x－1

　　C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)

　　D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z

　　解析：选C.A、B与D对应法则都不同．

　　6．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( )

　　A． B．或{1}

　　C．{1} D．或{2}

　　解析：选B.由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A＝{－1,1，－2，2}或A＝{－1,1，－2}或A＝{－1,1，2}或A＝{－1，2，－2}或A＝{1，－2，2}或A＝{－1，－2}或A＝{－1，2}或A＝{1，2}或A＝{1，－2}．所以A∩B＝或{1}．

　　7．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．

　　解析：由题意3a－1＞a，则a＞12.

　　答案：(12，＋∞)

　　8．函数y＝x＋103－2x的定义域是________．

　　解析：要使函数有意义，

　　需满足x＋1≠03－2x＞0，即x＜32且x≠－1.

　　答案：(－∞，－1)∪(－1，32)

　　9．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．

　　解析：当x取－1,0,1,2时，

　　y＝－1，－2，－1,2，

　　故函数值域为{－1，－2,2}．

　　答案：{－1，－2,2}

　　10．求下列函数的定义域：

　　(1)y＝－x2x2－3x－2；(2)y＝34x＋83x－2.

　　解：(1)要使y＝－x2x2－3x－2有意义，则必须

　　－x≥0，2x2－3x－2≠0，解得x≤0且x≠－12，

　　故所求函数的定义域为{xx≤0，且x≠－12}．

　　(2)要使y＝34x＋83x－2有意义，则必须3x－2＞0，即x＞23， 故所求函数的定义域为{xx＞23}．

　　11．已知f(x)＝11＋x(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．

　　(1)求f(2)，g(2)的值；

　　(2)求f(g(2))的值．

　　解：(1)∵f(x)＝11＋x，

　　∴f(2)＝11＋2＝13，

　　又∵g(x)＝x2＋2，

　　∴g(2)＝22＋2＝6.

　　(2)由(1)知g(2)＝6，

　　∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.

　　12．已知函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．

　　解：函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)．

　　∵ax＋1≥0，a＜0，∴x≤－1a，

　　即函数的定义域为(－∞，－1a]．

　　∵函数在区间(－∞，1]上有意义，

　　∴(－∞，1](－∞，－1a]，

　　∴－1a≥1，而a＜0，∴－1≤a＜0.

　　即a的取值范围是[－1,0)．