函数的奇偶性与周期性复习试题
10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x 2)=-f(x),当x∈时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0) f(1) f(2) … f(2016).
(1)证明∵f(x 2)=-f(x),
∴f(x 4)=-f(x 2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解∵x∈,∴-x∈,
∴4-x∈,
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2 6x-8,
又f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2 6x-8,
即f(x)=x2-6x 8,x∈.
(3)解∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0) f(1) f(2) f(3)=f(4) f(5) f(6) f(7)=…=f(2012) f(2013) f(2014) f(2015)=0.
∴f(0) f(1) f(2) … f(2016)=f(2016)
=f(0)=0.
15.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1) f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0, ∞)上是增函数,求x的取值范围.
解(1)∵对于任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1) f(x2),
∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)f(x)为偶函数.
证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1) f (-1),
∴f(-1)=2(1)f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1) f(x),
∴f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(3)依题设有f(4×4)=f(4) f(4)=2,
由(2)知,f(x)是偶函数,
∴f(x-1)<2?f(|x-1|)
又f(x)在(0, ∞)上是增函数.
∴0<|x-1|<16,
解之得-15
∴x的取值范围是{x|-15