习题课

　　【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用．

　　a、b、c表示直线，α、β、γ表示平面．

　　位置

　　关系判定定理

　　(符号语言)性质定理

　　(符号语言)

　　直线与平面平行a∥b且__________?a∥αa∥α，________________?a∥b

　　平面与平面平行a∥α，b∥α，且________________?α∥βα∥β，________________?a∥b

　　直线与平面垂直l⊥a，l⊥b，且____________?l⊥αa⊥α，b⊥α?____

　　平面与平面垂直a⊥α，____?α⊥βα⊥β，α∩β＝a，

　　__________?b⊥β

　　一、填空题

　　1．不同直线m、n和不同平面α、β．给出下列命题：

　　①α∥βm?α?m∥β； ②m∥nm∥β?n∥β；

　　③m?αn?β?m，n异面； ④α⊥βm∥α?m⊥β．

　　其中假命题的个数为________．

　　2．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的为________．

　　3．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．

　　①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α．

　　4．过平面外一点P：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是________．

　　5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．

　　6．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是________．

　　①若a，b与α所成的角相等，则a∥b；

　　②若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；

　　③若a?α，b?β，a∥b，则α∥β；

　　④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．

　　7．三棱锥D－ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角A－BC－D的大小为______．

　　8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．

　　9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是________．(填序号)

　　二、解答题

　　10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：

　　(1)DE＝DA；

　　(2)平面BDM⊥平面ECA；

　　(3)平面DEA⊥平面ECA．

　　11．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．

　　(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

　　(2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

　　能力提升

　　12．四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：

　　(1)根据图中的信息，在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：

　　①一对互相垂直的异面直线________；

　　②一对互相垂直的平面________；

　　③一对互相垂直的直线和平面________；

　　(2)四棱锥P—ABCD的表面积为________．(棱锥的表面积等于棱锥各面的面积之和)

　　13．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，EF⊥FB，BF＝FC，H为BC的中点．

　　(1)求证：FH∥平面EDB；

　　(2)求证：AC⊥平面EDB．

　　转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为

　　即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利用面面平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的转化．这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的．

　　习题课 答案

　　知识梳理

　　位置

　　关系判定定理

　　(符号语言)性质定理

　　(符号语言)

　　直线与平面平行a∥b且a?α，b?α?a∥αa∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b

　　平面与平面平行a∥α，b∥α，且a?β，b?β，a∩b＝P?α∥βα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

　　直线与平面垂直l⊥a，l⊥b，且a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥αa⊥α，b⊥α?a∥b

　　平面与平面垂直a⊥α，a?β?α⊥βα⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b?α?b⊥β

　　作业设计

　　1．3

　　解析 命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n?β；命题③不正确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．

　　2．2

　　解析 (2)和(4)对．

　　3．1

　　解析 ①正确．

　　4．2

　　解析 ①④正确．

　　5．线段B1C

　　解析 连结AC，AB1，B1C，

　　∵BD⊥AC，AC⊥DD1，

　　BD∩DD1＝D，

　　∴AC⊥面BDD1，

　　∴AC⊥BD1，

　　同理可证BD1⊥B1C，

　　∴BD1⊥面AB1C．

　　∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1．

　　6．④

　　7．90°

　　解析

　　由题意画出图形，数据如图，取BC的中点E，

　　连结AE、DE，易知∠AED为二面角A—BC—D的平面角．

　　可求得AE＝DE＝2，由此得AE2＋DE2＝AD2．

　　故∠AED＝90°．

　　8．36

　　解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．

　　9．①④

　　10．证明 (1)如图所示，

　　取EC的中点F，连结DF，∵EC⊥平面ABC，

　　∴EC⊥BC，又由已知得DF∥BC，

　　∴DF⊥EC．

　　在Rt△EFD和Rt△DBA中，

　　∵EF＝12EC＝BD，

　　FD＝BC＝AB，

　　∴Rt△EFD≌Rt△DBA，

　　故ED＝DA．

　　(2)取CA的中点N，连结MN、BN，

　　则MN?12EC，

　　∴MN∥BD，∴N在平面BDM内，

　　∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又CA⊥BN，

　　∴BN⊥平面ECA，BN?平面MNBD，

　　∴平面MNBD⊥平面ECA．

　　即平面BDM⊥平面ECA．

　　(3)∵BD?12EC，MN?12EC，

　　∴BD?MN，

　　∴MNBD为平行四边形，

　　∴DM∥BN，∵BN⊥平面ECA，

　　∴DM⊥平面ECA，又DM?平面DEA，

　　∴平面DEA⊥平面ECA．

　　11．(1)证明 因为侧面BCC1B1是菱形，

　　所以B1C⊥BC1．

　　又B1C⊥A1B，

　　且A1B∩BC1＝B，

　　所以B1C⊥平面A1BC1．

　　又B1C?平面AB1C，

　　所以平面AB1C⊥平面A1BC1．

　　(2)解 设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．

　　因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．

　　又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，

　　即A1DDC1＝1．

　　12．(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)

　　②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)

　　③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)

　　(2)2a2＋2a2

　　解析 (2)依题意：正方形的面积是a2，

　　S△PAB＝S△PAD＝12a2．

　　又PB＝PD＝2a，∴S△PBC＝S△PCD＝22a2．

　　所以四棱锥P—ABCD的表面积是

　　S＝2a2＋2a2．

　　13．

　　(1)证明 如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连结EG，GH，由于H为BC的中点，

　　故GH?12AB．

　　又EF?12AB，∴EF?GH．

　　∴四边形EFHG为平行四边形．

　　∴EG∥FH．

　　而EG?平面EDB，FH?平面EDB，

　　∴FH∥平面EDB．

　　(2)证明 由四边形ABCD为正方形，

　　得AB⊥BC．

　　又EF∥AB，∴EF⊥BC．

　　而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．

　　∴EF⊥FH．

　　∴AB⊥FH．

　　又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．

　　∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．

　　又FH∥EG，∴AC⊥EG．

　　又AC⊥BD，EG∩BD＝G，

　　∴AC⊥平面EDB．