数学是培养逻辑思维能力，分析能力的重要学科，下面是小编为大家搜集整理的高一集合知识点总结，欢迎大家阅读与借鉴，希望能够给你带来帮助。

　　一、集合有关概念

　　1. 集合的含义

　　2. 集合的中元素的三个特性：

　　(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

　　(2) 元素的互异性如：集合中的任意两个元素都是不同的

　　(3) 元素的无序性: 集合中的元素之间是没有顺序的。如：{a,b,c} 和{a,c,b}是表示同一个集合

　　3.集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集(即自然数集) 记作：N

　　正整数集 N*或 N 整数集Z 有理数集Q 实数集R

　　1) 列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

　　2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

　　3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4) Venn图:

　　4、集合的分类：

　　(1) 有限集 含有有限个元素的集合

　　(2) 无限集 含有无限个元素的集合

　　(3) 空集 不含任何元素的集合  例：{x|x2=-5｝

　　二、集合间的基本关系

　　属于：;包含于：;

　　属于与包含于的区别：

　　属于是元素与集合之间的关系，例如：元素a属于集合A{a，b｝

　　包含于是集合与集合之间的关系。例如：集合A{a}包含于集合B {a，c｝

　　1.“包含”关系—子集

　　注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

　　反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

　　2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

　　即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

　　③如果 AB, BC ,那么 AC

　　④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

　　三、集合的运算

　　一．知识归纳：

　　1．集合的有关概念。

　　1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素

　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则ab）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

　　2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

　　3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

　　4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

　　2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1）子集：若对xA都有xB，则A B（或A B）；

　　2）真子集：A B且存在x0B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）

　　3）交集：AB={x| xA且xB}

　　4）并集：AB={x| xA或xB}

　　5）补集：CUA={x| x A但xU}

　　注意：①? A，若A?，则? A ；

　　②若 ， ，则 ；

　　③若 且 ，则A=B（等集）

　　3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。

　　4．有关子集的几个等价关系

　　①AB=A A B；②AB=B A B；③A B C uA C uB；

　　④ACuB = 空集 CuA B；⑤CuAB=I A B。

　　5．交、并集运算的性质

　　①AA=A，A? = ?，AB=BA；②AA=A，A? =A，AB=BA；

　　③Cu (AB)= CuACuB，Cu (AB)= CuACuB；

　　6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

　　二．例题讲解：

　　【例1】已知集合M={x|x=m ,mZ},N={x|x= ,nZ},P={x|x= ,pZ}，则M,N,P满足关系

　　A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：对于集合M：{x|x= ,mZ}；对于集合N：{x|x= ,nZ}

　　对于集合P：{x|x= ,pZ}，由于3(n-1) 1和3p 1都表示被3除余1的数，而6m 1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

　　分析二：简单列举集合中的元素。

　　解答二：M={， ，}，N={， , , ，}，P={， , ，}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　= N， N，M N，又 = M，M N，

　　= P，N P 又 N，P N，故P=N，所以选B。

　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：设集合 ， ，则（ B ）

　　A．M=N B．M N C．N M D．

　　解：

　　当 时，2k 1是奇数，k 2是整数，选B

　　【例2】定义集合A*B={x|xA且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

　　A）1 B）2 C）3 D）4

　　分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，，an}有子集2n个来求解。

　　解答：∵A*B={x|xA且x B}， A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

　　变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若aM，则6?aM，那么集合M的个数为

　　A）5个 B）6个 C）7个 D）8个

　　变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

　　【例3】已知集合A={x|x2 px q=0},B={x|x2?4x r=0},且AB={1},AB={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

　　解答：∵AB={1} 1B 12?41 r=0,r=3.

　　B={x|x2?4x r=0}={1,3}, ∵AB={?2,1,3},?2 B, ?2A

　　∵AB={1} 1A 方程x2 px q=0的两根为-2和1，

　　变式：已知集合A={x|x2 bx c=0},B={x|x2 mx 6=0},且AB={2},AB=B，求实数b,c,m的值.

　　解：∵AB={2} 1B 22 m?2 6=0,m=-5

　　B={x|x2-5x 6=0}={2,3} ∵AB=B

　　又 ∵AB={2} A={2} b=-(2 2)=4,c=22=4

　　b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|(x-1)(x 1)(x 2)0},集合B满足：AB={x|x-2}，且AB={x|1

　　分析：先化简集合A，然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

　　解答：A={x|-21}。由AB={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-,-2)B=ф。

　　综合以上各式有B={x|-15}

　　变式1：若A={x|x3 2x2-8x0}，B={x|x2 ax b0},已知AB={x|x-4}，A,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若MN=N，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵MN=N, N M

　　①当 时，ax-1=0无解，a=0 ②

　　综①②得：所求集合为{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x 2)的定义域为Q，若P，求实数a的取值范围。

　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x 20在 有解，再利用参数分离求解。

　　解答：（1）若 ， 在 内有有解

　　令 当 时，

　　所以a-4,所以a的取值范围是

　　变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。