2012北约自主招生试题及答案，华约自主招生试题及答案，2012卓越联盟自主招生试题及答案
发布时间：2022-02-22 20:27:11
自主招生华约数学试题解析
一、 选择题
(1) 设复数z满足|z|<1且则|z| = ( )
解：由得，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去），。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为。则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。如图建立坐标系
，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，)，则，。设所成的角为θ，则。
解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。平移DM与AN在一起。即M移到N，D移到CD的中点Q。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN = ，而AQ = ，容易算出等腰ΔAQN的顶角。
解法三：也可以平移AN与DM在一起。即A移到M，N移到PN的中点Q。以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( )
此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)若的最小值和最大值分别为 ( )
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
解：
，可见答案是B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O1 O2边O1 O2上一点C，O O1、O O2延长线上分别一点A、B，使得O1A = O1C，O2B = O2C。
解法一：连接，C在上，则，，，故
，
，。
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，
，
，。
(6) 已知异面直线a，b成60°角。A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( )
A有且只有一个 B有且只有两个 C有且只有三个 D有且只有四个
[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案是4个。
(7) 已知向量则 的最小值为( )
解：由得
由于，可以用换元法的思想，看成关于x，y z，y - z三个变量，变形，代入
，答案B
(8)AB为过抛物线y2 = 4x焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为 ( )
解法一：焦点F（1，0），C（-1，0），AB方程y = x – 1，与抛物线方程y2 = 4x联立，解得，于是
，，答案A
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD = 45°，EF∥DA，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求∠AEB。
。类似的，有
，，
，答案A
解：，，
，于是。将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值。
(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。事实上，∠D ≥ ∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B，所以∠D为钝角。这样就排除了B，C。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ΔACD，则∠D = 180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。
二、 解答题
解：（I），整理得
（II）由已知，与（I）比较知。又，，，而，
，代入得，
，，
（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。
（I）若b = 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
解：不妨设水杯高为1。
（I）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为
(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x。水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是，解得
（13）已知函数。令。
(I)求数列的通项公式；
(II)证明。
解：由
(I)先求出，猜想。用数学归纳法证明。当n = 1显然成立；假设n = k显然成立，即，则，得证。
(II) 我们证明。事实上，
。我们注意到
，于是
（14）已知双曲线分别为C的左右焦点。P为C右支上一点，且使。
（I）求C的离心率e ；
(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F1 F2中，，E为PF1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，F1 F2 = 2c，求。
设PE = PF2 = EF2 = x，F F2 = ，
，，。
ΔE F1 F2为等腰三角形，，于是，。
(II)
（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。
（I）求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
2011年北大等十三所高校自主招生选拔考试语文试题及参考答案
一、选择正确的或者最好的表达形式（10分）
1、为维护语言的纯洁，禁止在广告中用谐音字______成语。
A篡改 B窜改 C纂改
2、大家推举在学界______的朱德熙先生担任学会主席。
A深负众望 B不负众望 C深孚众望
3、只要有诚心，再厚的冰也会______。
A融化 B熔化 C溶化
4、棋摊摊主卖个破绽，引路人______，骗取钱财。
A入网 B入瓮 C入彀
5、所有机票代售点，一律不得向旅客收取或______收取手续费。
A变向 B变相 C 变项
6、当时正值三年自然灾害，______尚有困难，有谁操心可有可无的戏班子的存亡。
A 裹腹 B裹肤 C果腹
7、政府领导作为人们的公仆，要______都关心群众的疾苦。
A不时不刻 B时时刻刻 C无时无刻
8、我国的农业生产取得了举世______的伟大成就，首先应归功于改革开放的政策。
A瞩目 B侧目 C注目
9、中国队20号前锋一脚远射，令对方门将______，皮球正入网中。
A措不及防 B猝手及防 C猝不及防
10、把这些数据放在一起，就能看出______来。
A端倪 B端睨 C端眤
参考答案：1-5 BCACB
6-10 CBACA
2011年北大等十三所高校自主招生选拔考试语文试题及参考答案
（文言文试题部分）
二、阅读下面古文，回答1-2题（10分）
州郡遇圣节锡宴，率命猥妓数十群舞于庭，作“天下太平”字，殊为不经。而唐《乐府杂录》云：“舞有字，以舞人亚身于地，布成字也。”王建《宫词》云：“罗衫叶叶绣重重，金凤银鹅各一丛。每遇舞头分两向，太平万岁字当中。”则此事由来久矣。（周密《齐东野语》）
1、文中所叙是一种什么景象？周密对此有何看法？
2、结合现实生活中所见，谈谈你对类似现象的看法。
三、将下段古文翻译为现代汉语（20分）
古者先王尽力于亲民，加事于明法。彼法明则忠臣劝，罚必则邪臣止。忠劝邪止而地广主尊者，秦是也。群臣朋党比周以隐正道、行私曲而地削主卑者，山东是也。乱弱者亡，人之性也。治强者王，古之道也。越王勾践恃大朋之龟与吴战而不胜，身臣入宦于吴，反国弃龟，明法亲民以报吴，则夫差为擒。故恃鬼神者慢于法，恃诸侯者危其国。（《韩非子·饰邪》）
【参考译文】
古代先王致力于亲近百姓，从事于彰明法度。他们的法度彰明了，忠臣就受到鼓励，刑罚坚决了，奸臣就停止作恶。忠臣受到鼓励，奸臣停止作恶，因而国土拓展、君主尊贵的，秦国正是这样。群臣结党来背离正道营私舞弊，因而国土丧失、君主卑下，山东六国正是这样。混乱弱小的衰亡，这是人事的一般规则。安定强盛的称王天下，这是自古以来的规律。越王勾践依仗贵重的龟甲所显示的吉兆同吴国打仗，结果没有胜利，自己成了俘虏去吴国服贱役；返国后抛弃龟甲，彰明法度亲近百姓以求报复吴国，结果吴王夫差被擒住。所以依仗鬼神保佑的就会忽视法治，依仗别国援助的就会危害国家。
五、作文（40分）
鲁迅曾说：“无尽的远方，无数的人们，都与我有关。”你认为这是怎样的一种关联？你自己与“无尽的远方，无数的人们”是以什么方式相关联？试结合上述问题，以《无尽的远方，与无数的人们》为题写一篇作文。
要求：
1、取譬适当，杜绝虚假；
2、行文畅达，说理明晰；
3、感情真挚，戒用套话；
4、字数要求700-800字。
一、 选择题
(1) 设复数z满足|z|<1且则|z| = ( )
解：由得，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去），。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为。则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。如图建立坐标系
，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，)，则，。设所成的角为θ，则。
解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。平移DM与AN在一起。即M移到N，D移到CD的中点Q。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN = ，而AQ = ，容易算出等腰ΔAQN的顶角。
解法三：也可以平移AN与DM在一起。即A移到M，N移到PN的中点Q。以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( )
此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)若的最小值和最大值分别为 ( )
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
解：
，可见答案是B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O1 O2边O1 O2上一点C，O O1、O O2延长线上分别一点A、B，使得O1A = O1C，O2B = O2C。
解法一：连接，C在上，则，，，故
，
，。
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，
，
，。
(6) 已知异面直线a，b成60°角。A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( )
A有且只有一个 B有且只有两个 C有且只有三个 D有且只有四个
[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案是4个。
(7) 已知向量则 的最小值为( )
解：由得
由于，可以用换元法的思想，看成关于x，y z，y - z三个变量，变形，代入
，答案B
(8)AB为过抛物线y2 = 4x焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为 ( )
解法一：焦点F（1，0），C（-1，0），AB方程y = x – 1，与抛物线方程y2 = 4x联立，解得，于是
，，答案A
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD = 45°，EF∥DA，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求∠AEB。
。类似的，有
，，
，答案A
解：，，
，于是。将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值。
(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。事实上，∠D ≥ ∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B，所以∠D为钝角。这样就排除了B，C。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ΔACD，则∠D = 180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。
二、 解答题
解：（I），整理得
（II）由已知，与（I）比较知。又，，，而，
，代入得，
，，
（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。
（I）若b = 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
解：不妨设水杯高为1。
（I）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为
(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x。水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是，解得
（13）已知函数。令。
(I)求数列的通项公式；
(II)证明。
解：由
(I)先求出，猜想。用数学归纳法证明。当n = 1显然成立；假设n = k显然成立，即，则，得证。
(II) 我们证明。事实上，
。我们注意到
，于是
（14）已知双曲线分别为C的左右焦点。P为C右支上一点，且使。
（I）求C的离心率e ；
(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F1 F2中，，E为PF1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，F1 F2 = 2c，求。
设PE = PF2 = EF2 = x，F F2 = ，
，，。
ΔE F1 F2为等腰三角形，，于是，。
(II)
（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。
（I）求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
2011年北大等十三所高校自主招生选拔考试语文试题及参考答案
一、选择正确的或者最好的表达形式（10分）
1、为维护语言的纯洁，禁止在广告中用谐音字______成语。
A篡改 B窜改 C纂改
2、大家推举在学界______的朱德熙先生担任学会主席。
A深负众望 B不负众望 C深孚众望
3、只要有诚心，再厚的冰也会______。
A融化 B熔化 C溶化
4、棋摊摊主卖个破绽，引路人______，骗取钱财。
A入网 B入瓮 C入彀
5、所有机票代售点，一律不得向旅客收取或______收取手续费。
A变向 B变相 C 变项
6、当时正值三年自然灾害，______尚有困难，有谁操心可有可无的戏班子的存亡。
A 裹腹 B裹肤 C果腹
7、政府领导作为人们的公仆，要______都关心群众的疾苦。
A不时不刻 B时时刻刻 C无时无刻
8、我国的农业生产取得了举世______的伟大成就，首先应归功于改革开放的政策。
A瞩目 B侧目 C注目
9、中国队20号前锋一脚远射，令对方门将______，皮球正入网中。
A措不及防 B猝手及防 C猝不及防
10、把这些数据放在一起，就能看出______来。
A端倪 B端睨 C端眤
参考答案：1-5 BCACB
6-10 CBACA
2011年北大等十三所高校自主招生选拔考试语文试题及参考答案
（文言文试题部分）
二、阅读下面古文，回答1-2题（10分）
州郡遇圣节锡宴，率命猥妓数十群舞于庭，作“天下太平”字，殊为不经。而唐《乐府杂录》云：“舞有字，以舞人亚身于地，布成字也。”王建《宫词》云：“罗衫叶叶绣重重，金凤银鹅各一丛。每遇舞头分两向，太平万岁字当中。”则此事由来久矣。（周密《齐东野语》）
1、文中所叙是一种什么景象？周密对此有何看法？
2、结合现实生活中所见，谈谈你对类似现象的看法。
三、将下段古文翻译为现代汉语（20分）
古者先王尽力于亲民，加事于明法。彼法明则忠臣劝，罚必则邪臣止。忠劝邪止而地广主尊者，秦是也。群臣朋党比周以隐正道、行私曲而地削主卑者，山东是也。乱弱者亡，人之性也。治强者王，古之道也。越王勾践恃大朋之龟与吴战而不胜，身臣入宦于吴，反国弃龟，明法亲民以报吴，则夫差为擒。故恃鬼神者慢于法，恃诸侯者危其国。（《韩非子·饰邪》）
【参考译文】
古代先王致力于亲近百姓，从事于彰明法度。他们的法度彰明了，忠臣就受到鼓励，刑罚坚决了，奸臣就停止作恶。忠臣受到鼓励，奸臣停止作恶，因而国土拓展、君主尊贵的，秦国正是这样。群臣结党来背离正道营私舞弊，因而国土丧失、君主卑下，山东六国正是这样。混乱弱小的衰亡，这是人事的一般规则。安定强盛的称王天下，这是自古以来的规律。越王勾践依仗贵重的龟甲所显示的吉兆同吴国打仗，结果没有胜利，自己成了俘虏去吴国服贱役；返国后抛弃龟甲，彰明法度亲近百姓以求报复吴国，结果吴王夫差被擒住。所以依仗鬼神保佑的就会忽视法治，依仗别国援助的就会危害国家。
五、作文（40分）
鲁迅曾说：“无尽的远方，无数的人们，都与我有关。”你认为这是怎样的一种关联？你自己与“无尽的远方，无数的人们”是以什么方式相关联？试结合上述问题，以《无尽的远方，与无数的人们》为题写一篇作文。
要求：
1、取譬适当，杜绝虚假；
2、行文畅达，说理明晰；
3、感情真挚，戒用套话；
4、字数要求700-800字。